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考研数学一经验及各题型解答技巧

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考研数学一经验及各题型解答技巧

考研数学真题,有难度!说实话,多数题目的切入考点“不走寻常路”,让考生第一反应无从着手,计算量也不算小,这些因素综合起来,很可能基础不扎实的考生就被当场压垮了。然而,事分两面,作为一名高校教师,任教以来是亲身体验了国内目前大多数基础数理课程的教学要求是有多低、训练难度是有多水,我个人认为,至少今年这种命题趋势所给出的信号是积极的,是让真正学有所悟的人欢欣雀跃的(实际上这一趋势在早几年也有所体现,只不过今年真的是特别明显),真正把基本原理、基础知识理解透彻了的同学,能够在这样的考试当中脱颖而出,而不是让大家都采用一样的复习套路无差别的刷几个月题目,就能够获得差不多的结果。从这一点来看,今年的这种命题方式还是相当必要的。
    事实上在考试当天中午刷朋友圈时,看到班上学生发了一条“真好,以后不用再上学了”,就有预感今年的数学题目估计难度加大了,晚上看过题目后,感觉确实,对中等水平的同学而言,这场考试很心塞,但有时实际情况会比自我感觉好,因为难是对大家都难,所以无论如何,考完了就该好好放松,不用再纠结了^_^
    在此还是按几年前的思路,从自己的角度对考研真题作一简评,希望能为接下来要面对这门考试的同学们,提供参考。时间有限,先写数一(因为我所在的专业是考数一),数二和数三可能没时间更新,若有空的话,必定补齐。
    选择题:
   
1、难题。判断一个反常积分的敛散性,开卷第一题就考平时不大会注意的边缘内容,可能有的同学对这个知识点都没怎么在意,导致对考试造成一定了心理恐慌。这道题目,说实话,以我生疏了好几年的水平,第一时间也是没什么思路的,所以就迅速跳过了,在做后面的题目时又下意识的考虑了一些办法,最后回过头来完成了这道题。
    具体思路:观察被积函数分母,是两个幂函数的乘积,对于幂函数是否可积,是比较方便用其原函数的存在性来判断的,比如指数>1时,便有确定结论,加之本题是选择题,四个选项分别对应两个指数a、b的不同取值,于是可用取特殊值的办法,如首先令a=0,此时第一部分消失,剩下一部分,若b>1则积分肯定收敛,那么这就排除了B、D,再考虑a<1的情况,如a=-1,这时分母的第一部分实际上变到分子位置去了,积分若要收敛,应该是整个分式的分母至少在二次方以上,即对应a+b>1,答案选C。
    2、简单题。考察原函数的相关知识点。什么是原函数?求导以后等于某个已知函数。既然能求导,那必然连续,那么看下题目给出的四个选项,首先判断F求导后等不等于f,排除B、C,再看F本身是否连续,排除A,答案选D。这题可能有的同学被卡住,在于对原函数这个概念不能迅速反映到以上结论,但实际上无论课本还是复习全书,都有类似题目,若平时稍有注意,便应能从容应对,故归入简单题。
    3、中等偏难题。微分方程出现的概率不高,而且以往考的通常是套路性较强的二阶常系数,这次突然来个一阶非齐次,确实不太常规。这题也不是直接要求解,而是通过解来反推非齐次项。首先用两个解之差,来给出齐次解,结果是2倍根号的部分,代入齐次方程,可以较快算出p(x),然后再用其中任意一个解代入非齐次方程,结合之前求得的p(x),就能算出q(x)了,此题计算量较大,且幂次、根号求导皆容易出错,需尤其仔细,答案A。
    4、中等题。考察连续与可导的概念,知识点很典型,但出题方式新颖。该题的关键在于不要被分段函数中的数列形式唬住,实际上紧扣选项要求判断的连续or可导的基本定义即可。首先看左边,f(x)=x,在x=0-处,极限为0,其次看右边,f(x)=1/n,在x=0+处,极限情况如何?注意到x趋向于0+时,与之伴随的n+1和n只能趋向于正无穷大,故可据此判断f(x)的右极限为0,左右极限均存在且相等,同时还等于f(x),连续!排除A、B,然后就是判断可导性了,与之前类似,严格按一点处的左右导数定义来求极限,作判断,可得答案为D。
    5、简单偏中等题。直接考察与相似有关的基本概念,若概念清晰便不难判断。已知条件是A与B相似,那么这两者之间可由一矩阵P及其逆阵P^-1联系,然后对这一等量关系作转置、求逆,再进行适当的变形,即可得到A、B选项的结论,至于C、D,在确定A、B正确后,稍加推论,不难判断出D也是正确的,故排除C,答案也选C。
    6、简单偏中等题。此题若不涉及曲面类型判断,妥妥的简单题,因为就是个十分典型的二次型相似对角化,再判断正负惯性指数的问题,但要求确定曲面类型,则难度有所上升,因为这是线代的最后部分内容,很容易忽视,尽管算出惯性指数是两负一正,可以确定排除C、D,但A、B仍存在较强干扰,因此属于简单偏中等的题目,不知道的同学只能猜了。当然,若留意了这部分内容的,按部就班做下来,就能确定答案B,这真是难者不会,会者不难。
    7、中等题。此题涉及的概念仍属基本,但出题方式巧妙,对于正态分布(或标准正态分布),其特性是:均值决定密度函数图像的对称位置,方差决定密度函数图像的高矮,题目中要求的概率p,转换为标准正态分布后,实际上是求随机变量X小于等于1的概率,即密度函数图像中,从负无穷到1处所围的面积,想清楚本质后,就知道和均值没关系,无论均值多少,标准化以后都是对应原点0,而方差会影响高矮,方差越大,图像越高,那这部分面积就越大,因此概率越大,选B。
    8、中等偏难题。这个题目设置的目标是相关系数,和期望、标准差等数字特征相比,相关系数也是往年真题中出现概率较低的知识点,容易被忽视,加上此题即使按正常思路考虑,将2次试验、3种结果的概率列表出来,得到其分布规律,再按相关系数的定义,先算EX、EY,再算EX平方、EY平方、EXY,还要算DX、EY,计算量也甚为惊人。按部就班可得出结果为-1/2,答案选A,但确实总体而言,过程繁琐,也很考验耐性。
    填空题:
    9、简单题。典型的用洛必达法则求极限的题目,且该题中分子的积分表达式内只有被积元t,无需换元,分母则是耳熟能详的等价无穷小,故先用等价无穷小替换,再上下分别求导即可。答案1/2。
    10、简单题。直接考察基础知识点,梯度、散度和旋度,是曲线曲面积分中的三个最基本概念,无非是以往考梯度和散度多一些,但这不应该成为忽视旋度的理由,只要记得用行列式表达的旋度公式,此题无难度,代入计算即可,答案(0, 1, y-1)。切记:梯度是向量,是对标量作运算得来;散度是标量,是对向量作运算得来;旋度是向量,是对向量作运算得来。
    11、简单偏中等题。直接考察隐函数求偏导的运算法则,这个只要把握好微分的本质即可准确作答,属于无论课本还是复习全书都有明确展示的内容。首先对已知的方程左右两边求微分,在这一过程中,无论x,y还是z,都作为变量同等对待,得(x+1)dz+zdx-2ydy=f(x-z, y)2xdx+x^2df,其中df=f1’(dx-dz)+f2’dy,注意到这一步后,不要一根筋的把dz先解出来,因为这个一般表达式较复杂,计算易出错,题目要求的是x=0,y=1时的结果,就可以先把这两个特殊值带进去了,同时由已知条件确定此时z=1,同样带进去,运算大大简化,最后得dz=-dx+2dy。
    12、中等偏难题。此题直接对应导数的基本知识点,应该算脸熟的内容,但设置了陷阱,即已知条件只给了在0处的三阶导,故只能对f(x)的普遍表达式求一阶、二阶导,不能再求三阶,因为不能确定在除0以外的其它点处存在三阶导,只能用定义。按定义算出f'''(0)后,反解出a=1/2。有的同学可能没注意,想着求了一、二阶导后再求三阶导代入x=0,计算复杂不说,结果也八成不对。
    13、中等偏难题。又是个计算量吓人的题目,算四阶行列式,平时练习一般都是三阶居多。回说算行列式的几种典型思路,要么化上(下)三角,要么按行(列)展开,这道题目给的0元素有一些,但不多,个人看来化上(下)三角不是那么容易,因为主对角线并不是确定的数值,那么按行展开,这时也要考虑,展开后还要算三阶行列式,要尽量让其成为上(下)三角,以方便运算。带着这样的思路观察,按第四行展开,尽管项数多一些,但每项中的三阶行列式都是上三角或下三角,相比于按第一行展开,任务还是要轻松一些,毕竟简单直接,剩下的就是运算小心不出错了。
    14、简单题同时也是难题。这道题目确实是考了n年都未出现过的知识点,若考前有适当留意,可马上按部就班算出答案,没什么拐弯抹角的;若完全没印象了就没办法。说实话,这道题我在考场上估计也是要放弃,但影响不大,99%的人都不会,关键是不要被这一道偏题打击了心情。具体解答网上有过程,我就不搬弄了O(∩_∩)O
    由以上情况可看出,今年的数一试题,选择题部分难度较大,明显高于往年水平,由于考生先做选择题,有可能造成心理波动。接下来的填空题应该说难度适中,但由于受前面影响,一些本可以平稳解答的问题,也可能因焦虑而失分。由此可见,在考场上尽量保持心态平和,遇到不会的、不熟的部分,应避免过度纠结,同时冷静、客观的看待全局,这样的心理素质还是相当重要的。
    解答题:
    15、中等题。考察知识点是二重积分,这个并不陌生,应属常规题型。二重积分的命题切入点一是积分区域,一是被积函数,就在这两个上面作文章,这次被积函数简单,显然是前一类型。这题一开始我的反应是把积分区域画出来,方便数形结合,结果一试之下发现不可行,r的上限不是常见的极坐标图形,于是退一步想,既然两个自变量的积分上下限都明确给出了,那就直接死算吧,这策略真是……够无脑(⊙﹏⊙) 把直角坐标的二重积分变换为极坐标形式(dr前面多出来的r千万别丢了),上下限也跟着变,角度是常数到常数,极径是常数到角度的函数,自然先积dr,再代入角度得相应的表达式,然后就是算定积分了。利用对称性,将角度的上下限锁定为0到pi/2,熟悉公式的同学可顺利得出答案,平心而论,这个公式确实不是热门,但也不算生僻,实在记不住的,即使未算出最后结果,大部分分数也能保证了。
    16、难题。题目内容新颖,将微分方程与反常积分结合,在我印象中是头一次,以前是见过与级数结合的。顺便吐个槽,这次的命题人是有多爱反常积分……此题第一问是要证明反常积分收敛,这种判断要么是用一些准则,要么是直接将积分求出。考虑到这里的y是一个二阶常系数微分方程的解,其形式是e的x次方的组合形式,指数函数的积分,能够直接计算出来的可能性还是比较高的,顺着这个思路尝试,先将微分方程的通解形式写出来,我们知道,如果指数函数的指数为负的话,在0到正无穷的反常积分就是一个有限值,而根据此题中微分方程所对应的特征方程根与系数的关系,再结合0<k<1的条件,可以确定,通解中两个未知的系数均为负,这样第一问得证。第二问涉及到求这个反常积分的具体值,可以先把积分的结果表示出来,实际上是两个未知系数的某种组合,利用两个初始条件,可以想办法凑出合适的表达式,从而得到具体数值,但这一过程确实难度很大,个人感觉,此小题与19大题的第一问,应为全卷最难了。
    17、中等偏难题。知识点对应每年必考的曲线积分(尤其是第二类曲线积分),并且与极值问题结合。被积函数是抽象函数,在特点上也比较不同于往年的题型,不过若稍注意的话会发现,被积函数有另一大特点,它是f的全微分!熟悉相关定理的话(但恰好是要达到这一程度不容易)应该马上就能反应过来了,其曲线积分应与路径无关,既然与路径无关,就可以选择特殊路径,从(0, 0)点到(1, t)点,首选两条直线段组成的路径。当然,是先沿水平方向再沿垂直方向,还是先沿垂直方向再沿水平方向,这取决于题目给出的其它条件,注意f(0, y)是已知的,那么这基本就决定了要选择x=0的一条路径,即先沿垂直方向,从(0, 0)到(0, t)就有着落了,至于紧接着的沿(0, t)到(1, 0),还有个关于f对x偏导数的条件正好用上。将以上信息代入曲线积分,最终可得I(t)=e^(2-t)+t。至于第二问,因I(t)的表达式并不复杂,基本就算送分了。
    18、简单题。第二类曲面积分应用高斯定理的典型题,此题甚至无需补面,还明确指出是对封闭曲面外侧积分(命题人良心啊!)。把积分区域分析清楚即可,是一个四面体的外表面,其中互相垂直的三个面在坐标面上,另一个是斜面,用高斯定理转化为三重积分,剩下的就是任务并不繁重的计算问题了,这类三重积分在平时的联系中,应该算是眼熟的,至少肯定不陌生。
    19、难题。刚看到这题时的感觉是简单,第一问里的级数通项Xn+1-Xn,这求个和不就两两抵消,最后剩个Xn+1-X1,然后想办法证明数列极限不就行了么,结果仔细一看,要求证明的是绝对收敛,换言之要对通项取绝对值,抵消不了!于是乎……蒙蔽了。好,那再想招,既然取绝对值,那就保证了正项级数,于是思路锁定在正项级数的敛散性判别上,那不外乎就是比较判别法和比值判别法,这两个用哪个?比值判别法一般用于通项是具体的表达式,这题明显不是,那就只剩比较判别法了,而比较判别的精髓在于,要判断收敛,你得找一个收敛的,要判断发散,你得着一个发散的,分析到这里,对于这题,剩下的关键就在于怎么从通项Xn+1-Xn出发,去寻找一个与之能确定大小关系的收敛正项级数了。
    这时可以审视下题目给出的还未用到的其它条件,观察下来Xn+1=f(Xn)是一个线索,因为它可以将两个相邻的项联系起来,于是尝试代入数列通项,得Xn+1-Xn=f(Xn)-f(Xn-1),这时如果稍微能再思考深入一些,就能想到拉格朗日中值定理了,正好是把式子右边的表达式改写成带f’,又有Xn-Xn-1的部分,就这么一步一步递推下去吧,最后来到X2-X1,前面的f’也积累成了n-1次方,而f’的范围已知条件限定了,0到1/2之间,即小于1/2的n-1次方,这不就是我们熟悉的收敛正项级数么(泪流满面),至此第一问证明总算结束,说实话,这题能拿全分的,基本是冲着140+去了,做不出来的,目标肯定也没那么高,不影响过线或拿100分出头。我承认,我琢磨了蛮久才做出来,要是真正在考场上,估计没那么顺利。
    至于第二问,是在第一问的基础上发展来的。这里分享一个个人积累的经验,或者说是窍门,假如第一问不会做,那也别完全放弃,仍然可以用来为第二问搭桥铺路。就像这题里,我们都知道绝对收敛必收敛,所以由第一问结论可迅速确定级数Xn+1-Xn收敛,那么其前n项和的极限存在,而其前n项和就对应表达式Xn+1,这与要证明极限存在的Xn无本质区别,这样即可得证。证明极限存在性后,用泰勒定理把Xn+1=f(Xn)展开成f(0), f’和Xn的表达式,再左右同时取极限,就能解出极限值了。在复习资料上,求数列极限的题目并不鲜见,但这次这道考题,设计得确实巧妙,水平相当高,估计以后会作为经典被反复解读。
    插播一句,这次的高数解答题,难度直逼号称史上最难的01年啊,有兴趣的小伙伴可以找来那时的试卷体验一把。
    20、简单偏中等题。按常规思路,线代的两道解答题,一是落在线性方程组,一是落在特征值特征向量,这次的命题中,大思路没有变化,但稍微有些改头换面。此题中要求论证的方程AX=B,是矩阵方程,不过呢,如果把握住了本质,就知道无非还是讨论线性方程组的解那一套,只不过这里非齐次项是两列,那就是两个线性方程组同时有解的情况。解题策略仍是作初等行变换,化阶梯型,然后分类讨论即可,系数矩阵满秩=有唯一解(因为这里秩最多为3,未知数也为3),系数矩阵不满秩但增广矩阵满秩=无解,系数矩阵不满秩且增广矩阵也不满秩=有无穷多解。求无穷多解时有一定的计算量,但过程应是平时练习很多的。
    21、中等偏难题。本题第一问是求A得99次方,但凡求矩阵的高次方的,要么有特殊规律可以归纳,要么就是用特征值特征向量化为阶梯型,先尝试特殊办法,算A的2次方看下结果,无规律可循……迅速切换到特征值方案,因为矩阵A的元素完全已知,且秩为2,故特征值一个为0,另两个也不难求解出是-1和-2。然后求特征向量,组成对应的转换矩阵P,再求P得逆阵(这计算量不小),最终将A的99次方变形为三个矩阵的乘积,这其中计算容易出错,故整体难度至少在中等偏上。

第二问是分解B的100次方,运用已知条件B平方等于BA即可,换算过来与A的99次方联系上,注意这里把A的99次方写成第一问所求得矩阵形式,然后按矩阵乘法的规则,把两组列向量的表出关系展开即可,这一问相对简单,但也要求考试对向量组之间互相表出的概念具有较透彻的掌握。

22、中等偏难题。概率统计的两道解答题,按往年真题的路数,同样有迹可循,一是落在多维随机变量,二是落在估计或检验。今年的多维随机变量题目,没有太明显的变化,第一问是求均匀随机分布的密度,直接算出面积,倒一倒即得结果,当然不要忽视有效区域;第二问判断U与X的独立性,由于U本身由X、Y的大小关系决定,两者耦合,不易直接作出结论,还是要从概率的乘积来着手。首先看U,它只有两种结果,于是可选择U=0或U=1来设置事件,再结合X的取值,计算两者同时发生的概率、两者分别发生的概率,以及分别发生的概率相乘是否等于同时发生的概率。在X、Y的联合概率密度已知时,这些概率都是对应不同区域的积分结果而已,理论上并不难算,关键在于能否想通这一点。

第三问求Z的分布函数,那就直接用分布函数的定义了,它是一个概率,对应事件是Z=U+X<z,再根据不同的z的取值,结合已知条件给出的有效积分区域,计算不同情况下的积分结果(它显然是z的函数),然后分类罗列,就能得到结果了,这类题目在概率论的学习中是非常典型的,不过这部分计算量本身就不小,这次还来个第二问,因此整体计算任务确实不轻松。

23、简单偏中等题。这次没有考似然估计,而是直接考察对随机变量的理解。第一问,由X的概率密度可积分得到X的分布函数,同上题,它是一个事件发生的概率(X<x),然后考虑T,求T的概率密度,当然是先求分布函数,对应的事件是T=max(X1, X2, X3)<t,然后按max函数的含义,等价成三个事件同时发生的情形就OK了,此题能否顺利解答,就看对分布函数的本质是否掌握到位了。第二问涉及无偏估计,直接按无偏估计的定义列等式即可,难度不大,考点也不算偏。个人觉得,此题第一问与22题第三问考察稍微重合了,加上前面的反常积分,稍损整张试卷的分布和平衡性,不知道是不是命题人的小疏忽。

    最后综合来看,这次的试题,高数最难(尤其解答题)、线代次之、概率统计相对简单,但明年参战的考生切不可惯性思维,掉以轻心,毕竟往年也有高数简单而线代或概率统计较难得情况,扎扎实实打好基础,吃透基本知识点与相关原理,再结合适当的题目训练加深体验,才是正道。

 


文章评论:

一颗柠檬

顶,感谢分享  的的学霸

2017-05-22

嫣然

11116666

2017-05-22

疯了的土拔鼠

厉害了

2017-05-23

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